Tổng hợp công thức đạo hàm trong giải tích

Bảng đạo hàm là kiến thức quan trọng và sẽ theo bạn trong suốt quá trình học môn toán. Bảng đạo hàm là kiến thức bắt buộc bạn phải nằm lòng khi muốn học và giải được bài tập môn toán. Bài viết dưới đây lessonopoly sẽ gửi đến bạn những kiến thức liên quan đến đạo hàm, các bạn hãy cùng tham khảo nhé!

Đạo hàm là gì?

Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. 

Đạo hàm có biểu diễn trong hình học là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Tiếp tuyến đó là xấp xỉ tuyến tính gần đúng nhất của hàm ở gần giá trị đầu vào. Vì lý do đó nên đạo hàm còn được gọi là “tốc độ biến thiên tức thời” hay bằng tỉ số giữa số gia của biến phụ thuộc và số gia của biến độc lập.

Đạo hàm có thể được khái quát hóa cho hàm số đa biến, ở đó nó được định nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính có đồ thị là xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của đồ thị hàm ban đầu. Ma trận Jacobi là ma trận dùng để mô tả phép biến đổi tuyến tính đó đối với chuẩn được cho bởi các biến độc lập và biến phụ thuộc, có thể được tính nhờ các đạo hàm riêng đối với biến độc lập. Với một hàm số thực đa biến, ma trận Jacobi được rút gọn về vectơ gradien.

Phép toán để tính đạo hàm được gọi là vi phân. Khái niệm ngược lại với đạo hàm là nguyên hàm. Định lý cơ bản của giải tích liên hệ nguyên hàm với tích phân. Vi phân và tích phân là hai công cụ cơ bản trong giải tích đơn biến.

Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0 khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x(0).

Đạo hàm của hàm số y = f(x) được kí hiệu là y’(x0) hoặc f’(x0).

Giá trị đạo hàm tại 1 điểm x0 thể hiện:

Chiều biến thiên của hàm số (đang tăng hay đang giảm, xem đạo hàm tại đây dương + hay âm -)

Độ lớn của biến thiên này (ví dụ: đạo hàm bằng 1 => delta y tăng bằng delta x).

Đạo hàm một bên

Có đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Hàm số liên tục

Hãy cùng tham khảo video sau đây để hiểu hơn về bảng đạo hàm các bạn nhé!

Ý nghĩa của đạo hàm là gì?

Ý nghĩa hình học

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0, fx(0)) đó.

=> Phương trình của tiếp tuyến tại điểm M: y – y0 = f’(xo) (x – x0).

Ý nghĩa vật lý

Xét chuyển động thẳng s = f(t) 

Khi đó vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là: v(t0) = s’(t0) = f’(t0)

Còn gia tốc tức thời tại thời điểm t0  là đạo hàm cấp 2 của phương trình chuyển động: a(t0) = f’’(t0)

Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

Q = f(t)

Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0: I(t0) = Q’(t0) = f’(t0)

Một số đạo hàm thường dùng

Đối với các hàm số cơ bản ta có bảng đạo hàm như sau:

Gọi biến là x ta có: 

(xα)’ = α.xα-1

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = – sin x

(tan x)’ = 1cos2x = 1 + tan2 x

(cot x)’ = −1sin2x = -(1 + cot2 x)

(logα x)’ = 1x.lnα

(ln x)’ = 1x

(αx)’ = αx . lnα

(ex)’ = ex

– Đối với hàm số nâng cao

Hàm số nâng cao bao gồm các hàm số đa thức, lượng giác, mũ và logarit.

Giả sử biến là u = f(x) ta có:

(uα)’ = α.u’.uα-1

(sin u)’ = u’.cos u

(cos u)’ = – u’.sin u

(tan u)’ = u′cos2u = u'(1 + tan2 u)

(cot u)’ = −usin2u = -u'(1 + cot2 x)

(logα u)’ = uu.lnα

(ln u)’ = uu

(αu)’ = u’.αu.lnα

(eu)’ = u’.eu

Xem thêm: Tổng hợp kiến thức về khái niệm, cách đọc, cách viết chữ số La Mã chuẩn nhất

Xem thêm: Công thức tính diện tích, tính chu vi tam giác thường và các tam giác đặc biệt chính xác nhất

Xem thêm: Tổng hợp công thức tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm đầy đủ, chi tiết nhất cần nhớ

Đối với các hàm số cơ bản

Các hàm số cơ bản được tính theo các công thức như sau:

Với hàm số y = xn, (n∈N,n>1) có công thức tính đạo hàm là: (xn)′ = nxn – 1với mọi x ∈ R. Tại công thức này ta có (C)’ = 0 (với C là hằng số), (x)’=1.

Với hàm số y = x − −√ có công thức đạo hàm là (x − −√′ = 12x√, với mọi biến x dương.

Đối với các phép toán

Giả sử biến u = u(x) và v = v(x) ta có:

Công thức tính đạo hàm tại x trong khoảng xác định là: 

(u + v) = u + v(u–v) = u – v(u.v) = u.v + u.v(uv) = uv − uvv2, với v(x) ≠ 0

Từ phương trình trên mở rộng ra ta có: (u1 + u2 + …+ un) = u1′ + u2′ +…+ un.

Khi đó xảy ra hai trường hợp: Nếu k là hằng số thì (ku)’ = ku’. Nếu (1v)′ = v′v2 và v(x) ≠ 0 thì ta có (u.v.w)′ = u′.v.w + u.v′.w + u.v.w′

Đối với hàm hợp

Với u = u(x) ta có hàm số y = f(u). Khi đó có phương trình: y′u = y′u.u′x (1)

Đối với (1) xảy ra trường hợp (un) = n.un – 1.u, với n∈N và (u−−√)′ = u′2u√.

Đối với hàm lượng giác

Ngoài những công thức về hàm số, phép toán, hàm hợp. Ta còn có những công thức tính đạo hàm dựa vào hàm lượng giác như sau:

sin(x)’ = 11– x2√cos(x)’ = −11– x2√tan(x)’ = 1 x 2 + 1

Đối với đạo hàm cấp 2

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x, với x ∈ (a; b).  Khi đó ta có hàm số cấp 2 là y’ = f'(x) với x ∈ (a; b).

Kí hiệu đạo hàm cấp 2 là y” hoặc f”(x).

Đạo hàm cấp hai f”(t) chính là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là S = f(t) 

Đối với đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n-1 được kí hiệu f (n-1) (x), với n ∈ N, n ≥ 4).

Nếu f (n-1) (x) có đạo hàm thì đó là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), y (n), f (n), (x).

Với f (n) (x) = [f (n-1) (x)]’ ta có công thức tính đạo hàm ở cấp cao là:

(x m)(n) = m(m – 1)(m – 2)…(m – n + 1).xm – n  (với m ≥ n)

(x m)(n) = 0 (với m ≤ n)

Bài viết trên đã gửi đến bạn kiến thức liên quan đến đạo hàm, bảng đạo hàm hy vọng có thể giúp ích được cho bạn. Đạo hàm là kiến thức quan trọng và sẽ theo bạn trong quá trình học môn toán của mình. Vậy nên hãy nhớ rõ kiến thức bảng đạo hàm để áp dụng giải bài tập được tốt hơn nhé!